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[수학 공부에 대한 오해] 1. 개념 이해하기에 대한 오해

이 글은 [수학 공부에 대한 오해] 시리즈의 첫번째 글입니다.

“수학을 잘하려면 어떻게 해야 하나요?”
“개념을 제대로 알고 넘어가야지. 개념을 완벽하게 하고 난 후, 문제로 훈련을 하는 거야.”

이젠 아예 귀에 못이 박이고, 아기들조차 알고 있을(?) 수학을 잘하기 위한 방법입니다. 그렇게 안하는 것이 이상할 정도로 굳게 믿어 의심치 않을 방법입니다. 상식적으로 생각해봐도 맞는 이야기죠?

그래서 너도 나도 개념을 열심히, 완벽히 공부합니다. 근데 뭐가 잘못인거죠? 왜 어떤 학생들은 어떤 질문을 받아도 시원하게 풀어 내고, 어떤 학생들은 손도 대지 못하나요? 개념을 완벽히 하고 문제로 훈련한다는 것이 잘못되었거나 아니면 … 무언가 다른 문제가 있는 거겠죠?

이미 많은 사람들이 주장하는 바가 일치한 이상, 일단 전제는 맞다고 생각하고 그 다음으로 넘어가보지요. 더 나아가기 전에, “개념을 제대로 확실히 완벽하게 이해한다.”는 말이 무슨 뜻인지를 알아야겠습니다. 여러분은 뭐라고 생각하시나요?

많은 이들이 떠올리는 완벽한 개념 공부

완벽한 개념 공부를 떠올리려하면, 많은 학생들은 깔끔하게 정리된 도표와 정의와 성질의 나열을 생각합니다. 정리를 좋아하는 학생들은 아트프로젝트 저리가라 아름다운 정리를 해둡니다. 멋지죠. 다 해놓은 결과물을 보면 너무 아름답습니다. 그것 갖고 누군가 앞에서 프리젠테이션이라도 해야 할 것 같습니다. 누가 봐도 뿌듯할 결과물입니다.

만약 그 정도의 정리를 못해도 어느 정도 성실하게 공부를 한다면, 교재를 읽고 예제를 따라 가며 그 논리를 이해할 수 있어야 개념을 완벽하게 했다고 합니다. 그리고 문제로 확인을 해보지요. 더 해본다면, 스스로 증명도 해봅니다. 와~ 증명까지!! 스스로 뻑갈 정도이군요?

아, 근데 잠시만 처음으로 돌아가봅시다. 무언가 배울 때, 어떤 아하! 하는 순간의 깨달음이 모든 것을 바꿔버리는 경험을 하신 적이 있습니까? 이때가 어느 한 가지에 대한 이해가, 나비의 날갯짓이 다른 것에 영향을 끼치듯, 지식체계 구조를 재구성하는 순간입니다. 세상을 뒤엎진 않지만 하나의 작은 사건으로선 긴 시간을 관통하는 나비효과처럼, 무언가를 이해한다는 것은 이미 갖고 있던 구조에 상당한-작지만 결코 작지 않은 변화를 가져옵니다.

이를 고려한다면, 위에 나왔던 이들이 한 것은 아무리 좋게 평가해도 결국 책을 잘 읽었거나 책의 내용을 잘 볼 수 있도록 정리하는 것을 끝냈을 뿐입니다. 개념 공부는 아직 시작도 하지 않았습니다.

실제적으로 개념을 이해한 상태

어떤 글의 흐름을 따라 갈 수 있다면, 이제 그 내용을 자신의 지식 체계에 편입시키기 위해서 이미 알고 있는 내용과 비교하며 어떤 관계를 갖고 있는지를 파악해야 합니다. 이 과정은 덤불숲에 길을 내는 과정이기 때문에 지저분하고 처음엔 어느 방향이 맞는 지도 계속 확인해야 합니다.

간단한 예를 들면, 초등학교 수학에서 세 자리수 뺄셈을 배울 때, 두 자리수 뺄셈을 이용하는 것입니다. 두 자리수 뺄셈을 하려면 어떤 성질을 이용해야 하는지에 대한 이해를 하고 있기 때문에, 이것을 상당부분 차용할 수 있기에 이해하기도 쉽습니다. 지금 이렇게 들으면 모든 학생들이 이렇게 할 것 같지만, 실은 전혀 그렇지 못합니다.

일례로, 중학교 수학에서 일차함수를 배우면서 x- 또는 y-절편을 함께 배우지만, 연립일차방정식의 교점에 대해 배울 때 절편과 일차함수와의 관계와는 전혀 별개의 지식으로 생각합니다. 실은 절편이란 특수한 예인데 말이죠. 그리고 고등학교 수학을 배우면서 여러 함수의 교점을 배울 때는 또 새로운 개념을 배운다고 생각하고 어려워합니다. 이미 알고 있는 지식을 전혀 활용하지 못하고 복잡한 식들의 관계를 새로운 개념으로 받아들이려니 어려울 수 밖에 없습니다.

사람마다 지식 체계는 상당히 다르기 때문에 이것은 남이 어느 정도 도와줄 수는 있겠지만, 대신 해줄 수 없습니다. 또한 한 가지 지식이 편입될 때마다 기존의 구조에도 많는 변화를 주게 되는데, 이것은 지식을 받아들이는 사람이 얼마나 적극적으로 기존에 자신이 갖고 있는 지식과 비교하고 연결고리를 만드느냐에 따라 얼마나 많은 변화를 줄 수 있는지가 결정됩니다.

책을 읽었거나 강의를 들은 것은 앞으로 어떤 신기술을 적용하여 재개발을 할 수 있을지를 들은 것입니다. 실제 자신의 도시에 맞도록 어떻게 구체적으로 어디까지 적용시킬 것인가는 공부를 하는 사람이 결정하고 구체화해야 할 일입니다.

토론

[수학 공부에 대한 오해] 1. 개념 이해하기에 대한 오해”에 대한 7개의 생각

  1. 이 글을 출처를 밝히고 저희 사이트에 올리고 싶습니다. 가능한지요? 만약 문제가 된다면 내리도록 하겠습니다.

    게시자: 김영제 | 2013/04/29, 4:25 오후
  2. 수험생인데 수학 공부가 정말 힘들어서 구글링 했더니 이런 좋은 블로그가 나오네요 잘 읽고 갑니다

    게시자: lpok | 2014/05/28, 11:02 오후
  3. 저기 제가 중학 시절에 절편을 배웠을 때 단순히 어느 한 변에 0을 대입하고 풀어서 계산하여 나온 값으로 알았지만 나중에 어느 강의에서 x축은 y=0이라는 하나의 일차식으로 볼수 있으므로 x절편이 일차함수와 x축의 교점의 좌표라는 설명을 듣고 나서 ‘아! 그렇게 볼수 있어야 했구나! ‘라고 생각했습니다. 그러니까 자신이 배운 것을 끌어 내어 하나 하나의 의미를 이해해야 하는데 당시에는 어려서 잘 몰랐고 그냥 ‘이렇게 하는것이라고 학교에서 배웠으니까 ‘ 그리고 지금은 깨달아도 ‘학교에서 선생님들께 물어봐도 그 정도까지 알 필요는 없다고 하면서 질문에 답변을 안해주니까’ 라는 말씀만 하셔서 그저 하나의 개념(정의,성질,정리,법칙,공식)들을 그대로 받아들이는 방법(그러니까 자연스럽게 당연하게)으로 하시니까 저로서는 의문이 들어도 그것을 해결할 방법이 없었습니다. 인터넷에 질문하면 되지 않느냐와 책을 읽어보면 되지 않는냐는 말씀을 하실수도 있지만 인터넷에 질문하기에는 저 스스로가 어떤 질문을 해야할지 모르는 상태라(다시말해 뭔가 미심쩍은 부분이 있는데 그것을 말로 표현할 정도로 그것에 대해 알고 있지 못한 상태, 이미 설명을 해 줬어도 그것을 받아들이지 못하는 상태) 글을 작성하기는 더더욱 힘들고 책을 찾아 보아도(여기서 책은 교과서와 참고서 같은 책들) 그저 똑같은 설명만 반복되어 그 속에 있는 의미나 그 의미를 파악할수 있는 용어풀이가 되어있지 않아 보다 보다 질려버리는 일이 반복되었습니다. 이것은 고등학교 생활할때 부터 수능이 끝날때 까지 직접적으로 느껴 와서 참 공부할 때 마다 갑갑한 마음을 지울수 없었습니다.
    P.S 아 그리고 저의 짧은생각입니다만 필기를 할때 선생님이 설명하신대로 쭉 적어 보는것은 생각보다 필요하다고 생각합니다. 선생님이 판서를 하시면서 내려가는 개념이 생성되는 흐름을 파악하고 또 그 유도 과정에서 찾아낼 수있는 숨겨진 의미나 원리를 찾아내기 위해서는 찬찬히 다시 써보면서 내려가는 과정마다 비교와 대조를 하는것이 중요하다고 생각하는데 그럴때 필기는 매우 효과적인 도구가 되지 않을까? 하고 생각하게 됩니다.

    게시자: 최진관 | 2015/12/10, 7:22 오후
  4. 글정ㅂ말 잘봤습니다. 우연찮게 구글에서 수학에 대해서 검색하다가 블로그에 들어오게되었는데

    정말 좋은글들 뿐입니다.. 하.. 배우고갑니다

    게시자: 익명 | 2015/12/18, 11:15 오후

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  1. 핑백: [수학 공부에 대한 오해] 이해했다는 느낌 vs. 모르는 것을 구체화한 것 | FP 개념의힘 - 2013/04/29

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