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이 카테고리에 23개의 글이 있습니다

수학 공부에 대한 몇가지 조언

초딩 때는 계산이 중요하다, 오답노트는 꼭 시켜야 한다, 정답률이 이렇게 나와야 한다, 기타 등등 여러 가지 이야기들이 있습니다. 각각은 일리 있는 이야기이기도 한데, 저런 이야기가 돌고 돌다보면 핵심을 잃은 채 껍데기만 회자된다는 생각이 들곤 합니다. 실제로 중요한 것이 무엇인가, 이러한 것들을 해야 하는 이유가 무엇인가를 잃으면 엉뚱한 방향으로 갈 수 밖에 없습니다. 그래서 소소하지만, 제가 … 계속 읽기

개념이라는 구조물 세우기란?

기본 개념이란? 이미 블로그에서 여러 차례 설명했지만, 예를 들어 보도록 하겠습니다. 그 전에 이 명칭이 어떻게 받아들여지는지 잠시 보도록 하죠. 기본 개념은 정의와 성질을 말한다. 기본 개념은 어떤 성질이나 공식을 설명하고 나서 나오는 예제를 풀 수 있을 정도의 지식을 말한다. 기본 개념의 명칭을 좁게 본다면 위의 두 가지 설명 모두 맞을 겁니다. 그러나 수학 공부를 … 계속 읽기

수학 공부, 제대로 하고 있습니까?

수학을 잘하고 못하고의 차이는 한가지에만 있지 않습니다. 그러나 수많은 차이 중 하나를 꼽아보라면 이것을 꼽을 것 같습니다.   개념 공부한다면서 의미는 생각하지 않는다   수학을 공부할 때, 처음엔 용어와 용어의 정의를 배웁니다. 그에 따른 예도 떠올려 보고, 그러한 예들이 가지는 특성들과 그 용어에 해당하지 않는 상황들의 특성을 살펴봅니다. 그러면서 그 용어가 가지는 의미를 구체적으로 알게 … 계속 읽기

중학교 수학 공부는 어떻게 해야 하나요?

학생들과 학부모님들이 수학 공부와 관련하여 하고 싶은 질문은 다양하고 많겠지만, 가장 많이 반복되는 질문 중, 제가 답변할 수 있는 것들에 대해 써보겠습니다.   중학교 수학 내신대비는 어떻게 해야 하나요?   가장 먼저 중학교 내신에 대해 알아야 할 것은 특목고처럼 고입에서 내신이 필요한 경우를 제외하고는 중학교 내신 성적은 필요없다는 것입니다. 중학교 때는 수학 공부를 할 필요가 … 계속 읽기

유형과 공식 암기의 폐해 사례들

수학교육자들 중에서 선행을 무척 반대하는 경우가 있습니다. 다른 포스팅에서도 썼지만, 그 이유는 ‘선행’이란 것 자체가 나쁜 것이라서가 아닙니다. 요즘은 무턱대고 ‘선행은 나쁜 것’이라고 믿는 분들이 생겼는데, 학생 개개인을 놓고 보면 선행이란 것 자체가 무의미합니다. 어차피 선행이란 다수를 위한 교육과정을 기준으로 보았을 때나 있는 것인데, 그런 기준에 벗어난다고 나쁠리가 있나요. 선행을 반대하는 이유는 대부분의 선행이란 흔히 … 계속 읽기

[수학 공부에 대한 오해] 4. 암기하고 나면 이해가 된다?

이 글은 [수학 공부에 대한 오해 시리즈] 중 하나입니다. 수학 공부를 하다보면 무슨 공식이 그렇게 많은지, 이해도 안되는 것을 외우려니 죽겠다는 말이 나오곤 합니다. 그럴 때 누군가 옆에서 “일단 외워.”라고 하지요. 수학을 가르치는 사람들도 “수학은 암기 과목이다.”라는 말을 하기도 합니다. 여기서는 그 주장이 어떻게 잘못되었는지, 그리고 그 방법이 왜 비효율적이며 더 나아가서는 바람직한(혹은 효율적인) 공부를 … 계속 읽기

동기와 공부 방식이 수학 실력을 좌우한다, IQ가 아니라

일반적으로 사람들은 어떤 타고난 능력에 의해 수학 실력이 정해진다고 믿습니다. 그러나 현실에서 학생들을 가르쳐보면 그것은 전혀 사실이 아님을 알게 됩니다. 잘 살펴보면 머리가 좋은데 수학을 못하거나 머리는 빠릿빠릿하지 않은데도 수학적으로 뛰어난 학생들을 보게 됩니다. 더 나아가서는 어릴 때 수학을 잘한다던 학생들이 상급학교에 가서 수학 실력이 형편없어지거나 혹은 거꾸로 뒤집히는 현상을 보니까 말입니다. 하지만 학생의 똑똑함과 … 계속 읽기

강의를 듣는 것은 공부가 아니다

일전에 강의의 한계에 대해 성토를 한 적이 있습니다. 그 글은 강의에 어떤 지식 전달의 한계가 있는지에 대한 것이었지요. 이번에는 배우는 입장에서 왜 강의로 수학 공부를 할 수 없는지에 대해 얘기를 해보겠습니다. 강의라는 것은 무엇을 위한 것인가? 전통적으로 새로운 것을 가르치는 방법 중 한가지는 강의였습니다. 손이나 몸으로 이뤄지는 작업 외에는 대부분 강의를 통해 무언가를 가르치곤 했지요. … 계속 읽기

직각적인 이해와 단계적인 분석

서양과 동양의 문화를 대략적으로 비교했을 때, 나타나는 차이점 중 하나는 서양의 문화권에 속한 사람들이 분석적인 성향이 강한 반면, 동양의 문화권에 속한 사람들은 직관적인 성향이 강하다는 것입니다. 물론 이것은 성향일 뿐, 각 개인의 능력치에 대한 이야기는 아닙니다. 즉, 한쪽으로 선호도가 쏠린다고 그것을 능숙하게 해낸다는 얘기는 아니란 것이죠. 여하간에 이러한 선호도는 학생들이 수학 문제를 대하는 태도에서도 하나의 … 계속 읽기

[수학 공부에 대한 오해] 3. 많은 문제를 풀면 실력이 는다?

이 글은 [수학 공부에 대한 오해 시리즈] 중 하나입니다. 수학을 잘하기 위해서 학생들이 가장 신경쓰는 것 중 하나가 얼마나 어려운 문제를 어느 정도나 많이 푸는가일 것입니다. 개념 교재의 문제를 풀고, 요즘 유행인 문제를 유형별로 나눈 문제집을 풀고, 더 심화된 교재를 사서 풀지요. 그래도 수학 실력이 늘지 않으면 제대로 안풀어서 그렇다고 생각하고, “오답노트”를 만들어서 틀린 문제를 … 계속 읽기

[수학 공부에 대한 오해] 이해했다는 느낌 vs. 모르는 것을 구체화한 것

이 글은 [수학 공부에 대한 오해] 시리즈의 일부입니다. 알겠다는, 다 이해한 것 같은 느낌 수학 개념을 이해하는 것이 무엇인지에 대해 질문을 던졌던 적이 있습니다. 흔히 말하는 수학을 이해했다, 수학책의 내용을 이해했다, 수학 선생님의 설명을 이해했다는 말이 어떻게 다르게 쓰일 수 있는지에 대해 얘기를 해보겠습니다. “저 선생님의 강의는 이해하기가 너무 좋아.” “이 책의 설명은 너무 이해하기가 편하게 … 계속 읽기

수학 공부를 할 때의 기본적인 비교 분석

제가 자꾸 수학 공부에 있어서 “선행이 악이다”라고 하는 것은, “선행” 자체가 잘못 되어서가 아닙니다. 학생 개개인의 속도에 맞추다 보면 “선행”이라고 할 것도 없고, “늦은 진도”라는 것도 존재하지 않습니다. 다만, 현실의 “선행 = 쉬운 요령 가르치기”인 문화가 잘못되었기 때문입니다. 가끔 학부모의 주장을 들어보면 “진도를 쭉~ 한 번 나가주면 쉽지 않느냐”라고 하지만, 공부라는 것은 백과 사전식 지식을 … 계속 읽기

한 학생의 수학 독학 후기

요즘 쓰고 싶은 글이 몇 개 있는데, 퇴고를 못하고 있네요. ㅎㅎ 그래서 오늘은 가벼운 글을 써보려 합니다. 어떤 학생이 수학을 독학한 후기를 읽어보았습니다. 영어 공부 관련해서도 있지만, 수학 관련된 부분을 옮겨봅니다. “내가 풀다가 모르던 문제는 절대로 난 여기 이런 네이버에 올려서 물어보는 습관 따위는 없습니다. 오로지 나 혼자서 풉니다. 푸는 도중에 오려워서 풀리지 않은 것들은 … 계속 읽기

수학을 배우는 이유는?

수학 교육을 다시 생각해야 한다는 내용의 포스팅을 했었습니다. 그런데 생각해보니 수학 교육의 목적이 다르다면, 수학 교육을 추구하는 방향이 달라지는 것이 자연스러운 것이고, 우리는 모두 같은 교육을 한다고 생각하지만, 펼쳐보면 전혀 그렇지 않습니다. 그것이 어쩌면 당연한 것일 수도 있겠지요. 구플(구글+)에서 안종제님이 현재 수학 교육에 대한 문제제기를 하셨는데, 그걸 보는 순간, ‘맞다. 사람들은 모두 교육에 대해 다른 … 계속 읽기

강의로 수학을 공부할 수 없는 이유

요전에 암기력을 상승시키려면 어떻게 해야 하는지에 대해 포스팅을 했었습니다. 보통 수학적인 지식들이 타 과목에 비해 추상적이다보니 현실과 연계시키기가 어렵고, 따라서 타 과목처럼 일상에서의 의미 찾기가 힘들기 때문에 수학 자체에서 의미 파악을 해서 기억해야 쉽다는 이야기를 잠깐 했습니다. 그런데도 중학교 때 수학의 공식을 단순하게 암기해서 성적을 잘 받는 학생들이 적지 않습니다. 한국에서는 초등학교 때부터 공부를 많이 시키는데, … 계속 읽기

지식의 빈익빈 부익부 – 암기 과목은 없다

아무 의미 없는 숫자 50개의 열을 나열한다면 외울 수 있을까요? 대부분의 사람은 몇 개 못 외울 것입니다. 왜 그럴까요? 다음의 동영상을 한 번 보세요. 45분짜리지만, 상당히 흥미로운 이야기를 하고 있습니다. 흔히 암기 과목이라고 부르는 과목들도 성적을 잘 받는 학생들은 그냥 외우지 않습니다. 그들 나름대로 의미를 부여해서 이미 갖고 있는 지식들과 연결시키는 작업을 합니다. 그들에게 노트 … 계속 읽기

이상적이기만 한 방법? 이상적이고 현실적인 방법

예전부터 이 주제에 대해 글을 올려야 겠다는 생각은 했지만 요즘 너무 바빠진 관계로 엄두를 못내고 있다가, 짧게나마 써보려고 잠시 짬을 내봅니다. 강의를 듣지 않는다. 대신 이해갈 때까지 책을 들이판다. 안풀리는 문제라고 질문을 하지 않는다. 대신 풀릴 때까지 두고 두고 (몇 날 며칠이고) 고민한다. 위의 이야기를 들으면 무슨 시절 모르는 소리냐며, 이상만 좋다고 되는 것이 아니라고 … 계속 읽기

[공부를 시작하기 전에] 1. 비워야 채워진다.

제가 가르치는 일을 한다고 하면, 많은 사람들이 “영어?”라고 되묻습니다. 생각해보면 정말 이상한 일입니다. 중1 때 영어를 접했는데, 중3 때 이미 영어에 대한 트라우마로 다른 과목까지 심각하게 영향을 받기 시작하여 중고등 시절을 관통해서 대학에 들어가기 직전까지 영어를 증오하도록 만들었습니다. 영어에 대한 집착은, 제게 영어도 수학도 남기지 않고 다 앗아가 버렸습니다. (아, 고 3 여름에 열심히 해서 … 계속 읽기

읽고 이해하기에 대한 고찰

요즈음 다른 선생님들과 함께 읽기에 대한 고찰을 하고 있습니다. 모두들 배우지 않은 수학의 일부 글을 선정해서 읽고 그것을 소화해내는 과정을 밟으며 스스로 어떻게 이해를 해나가고 있는지를 관찰하고 그것이 아이들의 방법과는 어떻게 다른지를 생각해봅니다. 제 자신이 생각했던 나의 공부 과정과도 상당한 차이가 있고 추상적으로 이럴 것이다 추측했던 것과도 또 달라서 굉장히 재미있는 실험입니다. 엊그제는 한 학생과 … 계속 읽기

[수학 공부에 대한 오해] 1. 개념 이해하기에 대한 오해

이 글은 [수학 공부에 대한 오해] 시리즈의 첫번째 글입니다. “수학을 잘하려면 어떻게 해야 하나요?” “개념을 제대로 알고 넘어가야지. 개념을 완벽하게 하고 난 후, 문제로 훈련을 하는 거야.” 이젠 아예 귀에 못이 박이고, 아기들조차 알고 있을(?) 수학을 잘하기 위한 방법입니다. 그렇게 안하는 것이 이상할 정도로 굳게 믿어 의심치 않을 방법입니다. 상식적으로 생각해봐도 맞는 이야기죠? 그래서 너도 나도 … 계속 읽기

영어는 수학이랑 다르지 않다

논리를 사용하는 방법에는 크게 두 가지가 있습니다. 연역법과 귀납법이 그것입니다. 대체로 수학에서 문제를 풀이하거나 증명을 할 때, 토론에서 타인의 논점을 박살내어줄 때 주로 사용하는 방법이 연역법입니다. 보통 논리적이다는 평을 듣는 말이나 글은 대부분 연역적인 방법으로 짜여져 있지요. 그렇지만 어떤 특정 근거를 사용하기 이전에, 수많은 것들 중 그것을 선택하게 되기까지는 귀납법이 이끌게 됩니다. 수많은 예들을 살피고, … 계속 읽기

모든 것의 시작 – 넘어지기

여러분은 겨울 스포츠를 즐기시나요? 저는 무척 좋아합니다. 오늘은 어렸을 때의 겨울로 돌아가 보겠습니다. 처음으로 스키를 탄다고 흰 눈으로 뒤덮힌 산을 설레는 마음으로 보았던 그 때로. 작은 언덕으로 데리고 올라가셨던 분이 무엇을 가르치셨는지 기억나시는지? 스키를 신고 가장 먼저 배웠던 것은 다름아닌 넘어지기! 엉? 아니 넘어지는 방법을 뭘 시간을 들여 배우나요? 하지만 스키를 가르치는 그 분은 단호하십니다. … 계속 읽기

즐긴다는 것은?

즐겨라 언제부턴가 화두를 넘어서서, 모두의 주제가가 되어버린 듯하다. 그럼 즐긴다는 것은 어떤 것일까? 사람들은 즐긴다는 것을 흔히 ‘흥미진진함’ 또는 ‘재미’와 연결해서 생각합니다. 이러한 재미와 흥미에는 지루하거나 어려운 고비가 없습니다. 따라서 이런 결론을 낸 사람들은 지루하거나 무언가 답답함을 만나게 되면, “어? 이거 뭔가 잘못된 거 아니야?”하게 됩니다. 결국 사람들은 계속해서 재미와 흥미를 제공해주는 것을 찾습니다. 재미있고 웃기는 강의, 재미있는 강습, 흥미있는 … 계속 읽기