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대학 공부 또는 일을 위해 수학 공부를 다시 시작하는 분들께

고등학교 때 이과를 가지 않았거나 이과로 졸업했더라도 수학을 못했기 때문에 대학 전공 공부에 차질이 있거나 회사에서 요구하는 것을 따라가는데 어려움이 있는 분들의 글을 종종 접합니다. 그때마다 대충 알 수 있는 상황에 맞춰 조언을 해드리곤 했는데, 아예 블로그에 글로 남겨볼까 합니다.

일단 파악해야 할 것들은 (1) 무엇(목표)을 준비하기 위함인가, (2) 수학의 어느 과정부터 시작할 수 있는가, (3) 어떤 도움이 필요한가 정도로 요약해 볼 수 있습니다.

(1) 무엇을 준비하기 위함인가, 즉 목표가 무엇인가: 대학생들의 경우, 공업 수학이나 통계 쪽의 공부가 필요한 경우가 많고, 일을 위해서 필요한 경우, 좀 더 다양한 것 같습니다. 게임 프로그래밍이나 통계 쪽에서 요구되는 경우가 흔히 보이긴 합니다.

궁극적으로 어떤 공부를 해야 할지 알았다면, 이것을 통해 그 것 이전에 어떤 것들을 공부해야 할지 알아낼 수 있기 때문에 구체적인 정보가 필요합니다. 대학 수업을 위한 것이라면 그 과정의 수업 계획과 함께 그 수업에서 사용할 교재를 찾아보면 어떤 지식들이 선행되어야 할 지 알 수 있습니다. 회사의 일을 위한 것이라면 회사의 선배나 상사를 통해 그 업계에서 흔히 사용되는 교재를 알아내면 됩니다.

구체적인 정보를 알아냈다면 이것을 통해 필요한 선행 지식이 무엇인지 알아내야 하는데, 이것은 그 부분까지의 수학을 잘 아는 사람에게 질문을 할 수 밖에 없겠습니다.

(2) 수학의 어느 과정부터 시작할 수 있는가, 즉 당사자의 선험 지식은 어느 정도인가: 스스로 자신이 어느 정도까지 잘하는지 알고 있다면 그 이후부터 시작하면 되겠습니다만, 그렇지 않다면 고등학교 1학년에서 시작을 해봅니다. 그 이유는 고등학교 1학년은 중학교 수학을 완전히 정리, 심화하는 과정이라 중학 과정에서 모르는 것이 있어도 여기서 역추적하면 될테니까요. 만약 누군가의 도움을 받는 다면 상담을 통해 이 부분을 해결하면 될 것 같습니다.

(3) 어떤 도움이 필요한가: 이런 상황에서는 독학이나 과외를 결정하는 경우가 대부분입니다. 수학 공부를 어떻게 해야 하고, 계획은 어떻게 세우는 것이 적절하며, 어떤 선행 지식이 필요한지를 알고 있다면 독학을 해도 좋습니다. 하지만 수학 공부를 제대로 해본 적이 없어서 수학을 어떻게 공부해야 할지도 모르겠다면 어느 정도의 도움을 받는 것이 더 나을 수도 있습니다.

자신의 수학 공부 방법이 독학을 해도 될 정도인지 대략 가늠해 보려면 이 방법을 써도 괜찮습니다. 적당해 보이는 내용 공부용(내신이나 수능 준비가 목표가 아니므로 문제풀이용 문제집은 필요 없음) 교재를 구입하고, (1)번에서 찾아낸 ‘필요한 선행 지식’ 부분 중 가장 처음 부분(양은 한 챕터에서 반 챕터 정도가 적당할 듯)을 택해서 내용 공부를 합니다. 그리고 나서 예제 문제(힌트와 자세한 풀이가 문제의 바로 아래에 딸려오는 그 챕터의 대표 문제들) 부분만 모아서 힌트나 내용 설명 부분을 전혀 보지 않고, 온전히 혼자만의 힘으로 8~90% 정도 풀어낼 수 있으면 독학해도 충분합니다. (혹 이 챕터 내용만 잘 아는 것 같다 싶으면 다른 챕터도 비슷한 방법으로 해보셔도 좋지만, 그럴 확률은 굉장히 낮으리라 생각됩니다.)

과외라든가 누군가의 도움을 받기로 했다면, 그것은 어디까지나 도움일 뿐이고 공부는 스스로 해야 함을 알고 시작해야 합니다. 이게 명확할 것 같은데도, 현실에서는 또 그렇지가 않은 것 같더라구요. 성인이라면 학생 때 공부를 잘하는 학생과 못하는 학생의 많은 차이 중에서 중요한 한가지는 적극성에 있다는 것을 알아야 합니다. 많은 학생들이 학원이나 선생이 알아서 해주겠지 하는 마음으로 수업을 받지만, 그런 학생들은 ‘들러리’로 불리는 상황에서 벗어나지 못한다는 현실을 말이죠.

선생님이 달라 붙어서 모든 것을 친절하게 설명해주고 당사자는 “음.. 잘 설명하고 있군.”이라는 자세로 있으면 수학 공부는 할 수 없습니다. 기본적인 공부는 어떻게 해서든 스스로 하고 그래도 어려움을 겪는 부분에서 도움을 얻는다고 생각해야 합니다.

대부분의 사람들이라면, 위의 예제 문제 풀어보기에서 50%는 커녕 한두개 맞기도 어려울 것입니다. 수학 교재를 어떻게 읽고 내용을 이해한다는 것이 무엇인지도 모르는 상태인 것이죠. 그렇다면 기본적인 공부를 어떻게 해야 할까요? 먼저 ‘공부를 하는 방법’, 즉, 교재를 읽고 내용을 이해하는 기술에 대해 도움을 얻어야 합니다. 공부를 잘하는 학생들의 상당수는 중고등학교 시절 이 방법 또는 기술을 터득합니다. 나머지는 아무도 가르쳐주지 않기 때문에 모르는 상태에서 졸업하므로, 새로운 공부를 할 때에도 어려움을 겪게 됩니다.  특히 수학이나 수학을 언어로 사용하는 학문들처럼 고도로 추상적인 학문은 이러한 영향이 훨씬 더 큽니다.

개인 과외에서 도움 받을 것: 공부하는 방법/기술 훈련, (1)번의 앞으로 공부해야 할 내용 확인, (2)번의 현 상황 파악, 앞의 두 가지를 이용하여 공부에 필요한 계획을 세울 때 가능한 계획인지 확인. 이러한 네 가지 사안에 대해 미리 이야기를 하고 들어가는 것이 좋습니다. 처음 두 가지는 모든 고등 수학 과외를 하는 사람이 다 가능한 것이 아닐 수도 있기 때문이고, 또 서로 어떤 기대를 하고 수업을 시작하는지 알 수 있기 때문입니다.

토론

대학 공부 또는 일을 위해 수학 공부를 다시 시작하는 분들께”에 대한 10개의 생각

  1. 전공공부를 계속하면서 기초학문의 중요성을 깨닫고 물리,수학등의 공부를 준비하던중 좋은정보 보게됬습니다. 감사합니다~

    게시자: 익명 | 2013/05/26, 10:25 오후
  2. 직업상 수학의 중요성을 알게 되어서 다시 수학공부를 해야하는데… 중학교 이후로 거의 손놓다 시피 하던 사람입니다.

    대략 몰라도 고등학교 1학년 교재를 구입하여 공부하면 되는군요… 전 그것도 감이 안잡혀서 초등학교 꺼부터 봐야하나 싶어서 EBS 에서 강의를 보고 있었죠..(속으론 좀 찜찜 했어요 과연 초등학교꺼부터 봐야하나 싶을 정도로)

    아 근데 한가지 여쭙고 싶은데. 혹시 고등학교 1학년 수학 교재는 추천하실만한것이 있나요? 제가 수학이쪽으로 교재랑은 담을 쌓은지가 오래되어 놓아서요.

    게시자: PARK JC | 2013/11/12, 8:58 오후
    • 어떤 이유로 수학 공부를 하셨어야 하는지 알려주셨더라면 더 좋았을 것 같은데, (알맞는 교재는 개인의 배경에 따라, 목적에 따라, 상황에 따라 다르니까요), 일반적인 추천을 해보도록 하지요.

      고등학교 내용을 빠르게 기초부터 익히고 싶으시다면 “고등수학” 혹은 “수학”(현행 과정상 고1 수학 과목 이름임.) 교과서가 가장 적절할 것 같습니다. 익힘책 없이 교과서만 사시고, 이것 중에서 어려운 부분 건드리지 마시고 진행하시면 되지 않을까 싶습니다.

      시간 여유가 좀 있고, 교과서처럼 딱딱하지 않기를 바라신다면 고중숙 교수의 ‘중학수학 바로보기’도 괜찮습니다. 여기서도 어려운 내용은 건너 뛰셔도 되구요.

      고1 내용(수체계, 함수/방정식/부등식 사이의 관계와 그래프)을 어느 정도 이해하셨다면, 필요에 따라 미적분, 이산수학, 선형대수, 통계 등등 실제로 필요한 부분으로 넘어가면 되겠습니다.

      만약 고1 내용을 공부하시다가 이해가 안되는 부분이 있다면 그 부분만 아래 학년 것을 찾아봅니다. 이때에는 인터넷에 자료는 많으니 인터넷을 이용하셔도 좋겠습니다.

      게시자: mentoR | 2013/11/13, 2:11 오전
      • 다 정확한 이유를 알경우 더 시간을 단축 시킬수 있나요?

        사실 프로그래머 였습니다(게임쪽은 아닙니다) 아이폰 앱쪽으로 공부를 다시하고 있는데요.

        앱만할건 아니구 행여나 혹 리눅스 쪽 응용프로그램도 하고 싶은 생각이 있습니다. 게임쪽은 모르겠습니다 나중에 일구하기 힘들어지면 게임프로드래밍도 해야될수도 있으니, 프로그래머로써 수학문제집 잘푸는게 중요한게 아니라. 수학적 사고를 할수 있느냐가 중요하다라고 수학관련 글 찾다가 언뜻 읽은적이 있습니다

        게시자: 익명 | 2013/11/28, 10:44 오후
    • 프로그래밍도 분야에 따라 필요한 수학적 지식이 다른 것으로 알고 있습니다. 각각 필요한 공부는 본문에서도 말씀드렸듯이 그 분야에서 오래 일하시는 분께 여쭤보는 것이 좋겠습니다. 제가 궁금했던 것은 결국 수학의 어떤 분야를 어느 정도의 수준까지 알아야 하는지였습니다. 그것을 알면 어느 정도로 고등수학을 공부해야 할지 알 수 있을테니 말이죠.

      수학 지식이 아닌 ‘수학적 사고’가 필요하다면 굳이 고등학교 수학을 공부해야 할 필요도 없고, 좀 더 가볍게 가도 괜찮겠습니다.

      게시자: mentoR | 2014/01/08, 3:45 오전
  3. 저도 수학의 필요성을 느끼고 있는 요즘 입니다. 마음 다 잡고 시작해 봐야겠어요 좋은글 감사합니다.

    게시자: 안녕하세요 | 2014/10/23, 12:47 오전
  4. 전과때문에 수학공부를 다시 시작중인데요(고등학교껄 복습중입니다.) 다른건 괜찮은데 도형문제나 삼각함수 관련 문제들은 기초 문제들부터 이상하리만치 어떻게 풀어야할지 감이 안옵니다.. 뭔가 공식도 적용을 어떻게 해야할지 모르겠고 공식을 외워도 머리에서 붕 뜬 느낌인데 어떻게 공부해야 좋을까요?

    게시자: 익명 | 2016/01/08, 4:19 오후
  5. 13년 글인데 글을 남겨도 될지 모르겠네요. 심리 통계를 하기 위해서 수학 공부를 다시 하려고 합니다. 중학교 1학년 집합 이후로 완전 손을 놓은 거 같은데 말씀하신 대로 고1 과정부터 해도 될까요? 정말 감이 오지 않아서 댓글 남겨요.

    게시자: 김주석 | 2016/09/21, 1:06 오전

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